Tämä Pro Gradu tutkielma käsittelee Möbius-kuvauksia, hyperbolista geometriaa sekä näiden välisiä yhteyksiä. Tutkielman alussa perehdytään kompleksilukujen perusominaisuuksiin sekä tarkastellaan laajennettua kompleksitasoa, joka sisältää normaalin kompleksitason lisäksi äärettömyyden. Lisäksi tarkastellaan suoria ja ympyröitä laajennetussa kompleksitasossa stereografisen projektion avulla. Tämän jälkeen siirrytään tarkastelemaan Möbius-kuvauksia. Möbius-kuvaukset ovat kompleksitason kuvauksia, joita käytetään suorien ja ympyröiden kuvaamisessa esimerkiksi peilaus- ja hyperbolisessa geometriassa. Möbius-kuvauksiin liittyviä ominaisuuksia ovat kiintopisteet, kaksoissuhde sekä Möbius-kuvausten matriisiesitys. Matriisiesitys osoittautuu hyödylliseksi työkaluksi Möbius-kuvausten käänteiskuvausten sekä yhdistettyjen Möbius-kuvausten etsinnässä. Möbius-kuvauksen muita tärkeitä ominaisuuksia geometrian kannalta ovat, että Möbius-kuvaus kuvaa yleistetyt ympyrät yleistetyiksi ympyröiksi sekä Möbius-kuvaukset säilyttävät suorien tai käyrien väliset kulmien suuruudet. Tämän jälkeen siirrytään tarkastelemaan lyhyesti peilausgeometriaa. Alkuun määritellään peilausgeometrian ominaisuuksia, kuten peilaus ympyrän suhteen. Peilauksia käsitellään sekä yksikköympyrän, että minkä tahansa ympyrän C suhteen. Peilaus ympyrän suhteen eroaa euklidisesta peilauksesta, sillä se ei aina kuvaa suoria suoriksi. Peilauskuvauksen määritelmän jälkeen toteamme, että peilauskuvaus toimii äärettömyyspistettä lukuunottamatta samoin kuin Euklidinen peilaus suoran suhteen. Tutkielmassa tarkastellaan lisäksi Möbius-kuvausten ja peilausgeometrian välistä yhteyttä. Tutkielmassa osoitetaan, että Möbius-kuvaus on peilausten algebrallinen esitystapa ja jokainen Möbius-kuvaus voidaan esittää peilauskuvauksena ja jokainen peilaus voidaan esittää Möbius-kuvauksen ja kompleksikonjugaatin avulla. Luvussa 5 siirrytään tarkastelemaan Hyperbolista geometriaa. Hyperbolinen geometria eroaa Euklidisesta geometriasta paralleeliaksiooman, eli yhdensuuntaisuuden suhteen. Tutkielmassa tarkastellaan hyperbolista geometriaa Henri Poincarén luoman Poincarén kiekkomallin mukaan. Kiekkomallissa tarkasteltava avaruus rajoittuu yksikkökiekon sisällä oleviin pisteisiin, suoriin ja ympyröihin niin, miten ne yksikkökiekossa esiintyvät. Hyperbolisen geometrian luvussa määritellään hyperbolisen suoran käsite, hyperbolisten suorien yhdensuuntaisuus sekä aikaisemmin esitettyjen peilausten ominaisuuksia kiekkomallissa. Määrittelemme hyperbolisen kuvauksen ja tarkastelemme miten hyperbolinen kuvaus kuvaa hyperbolisia suoria, pisteitä ja kulmia. Viimeisessä luvussa yhdistetään tutkielmassa esiteltyjä tietoja ja tarkastellaan Möbius-kuvausten ja hyperbolisen geometrian välistä yhteyttä. Viimeisen luvun päätulos on, että hyperbolinen kuvaus voidaan esittää Möbius-kuvauksen ja kompleksijonkugaatin yhdisteenä, jolloin Möbius-kuvausten ominaisuudet ovat voimassa hyperbolisessa geometriassa.