Tämä tutkielma käsittelee ikivanhaa ja kuuluisaa geometrian konstruktio-ongelmaa nimeltään Apollonioksen ongelma. Geometrinen konstruoiminen tarkoittaa geometrisen ongelman ratkaisemista harpilla ja viivaimella piirtäen, joten tavoiteltava konstruktio on kuva. Apollonioksen ongelma on kuitenkin mahdollista ratkaista lukuisilla muillakin menetelmillä kuin harpilla ja viivaimella, esimerkiksi algebrallisesti.

Apollonioksen ongelma kuuluu seuraavasti: Olkoon euklidisessa tasossa kolme mielivaltaista ympyrää. Etsi neljäs ympyrä, joka sivuaa jokaista annettua ympyrää. Kunkin annetun ympyrän säteen sallitaan vaihtelevan nollasta äärettömään, jolloin annettu ympyrä on pienimmillään piste ja suurimmillaan suora. Ympyrän käsitettä ajatellaan annetun kuvion tapauksessa siis tavallisesta käsityksestä poikkeavasti, laajennetusti. Ratkaisuympyrän säteen vaaditaan kuitenkin olevan tavalliseen tapaan nollaa suurempi ja äärellinen.

Annetuista kuvioista (piste, suora tai ympyrä) saadaan muodostettua kymmenen erilaista kolmen annetun kuvion yhdistelmää. Ratkaisuympyröitä voi kussakin tapauksessa olla olemassa useita eri lukumääriä, riippuen annetusta kuvioiden yhdistelmästä sekä kuvioiden keskinäisistä sijainneista. Ratkaisuympyröitä on olemassa yleensä äärellinen määrä, nollasta enintään kahdeksaan, mutta on olemassa myös kuviokolmikoiden asetelmia, joille on olemassa ääretön määrä ratkaisuja.

Johdantoluvussa tutustutaan aluksi lyhyesti itse ongelman keksijään, Apollonios Pergalaiseen (n. 262–190 eKr.), sekä hieman hänen muihin keksintöihinsä ja saavutuksiinsa. Sitten esitellään käsiteltävä Apollonioksen ongelma, muutamia muita ympyrämuodostelmia sekä arkielämän sovelluksia, joissa ongelmaa hyödynnetään. Toisessa luvussa käydään läpi tutkielmassa käytettyjä matemaattisia merkintätapoja ja tarvittavia työkaluja. Tutkielman pääosassa on Apollonioksen ongelman eri tapausten ratkaiseminen harpilla ja viivaimella, mitä käydään yksityiskohtaisesti läpi luvussa 3. Viimeisessä luvussa tehdään lopuksi pieni yhteenveto ratkaisuympyröiden lukumäärästä eri tapauksissa, ja esitellään lyhyesti algebrallisen menetelmän idea sekä GeoGebran dynaamisuuden mahdollistamia havainnollistuskeinoja kolmiulotteisen ratkaisukonstruktion avulla.

Tutkielma on kirjoitettu kirjoittajan opettajaopintotaustan innoittamana ja tulevaa ammattia ajatellen mahdollisesti lukiolaiselle ymmärrettävällä tasolla. Tutkielman kuvat on piirretty tietokoneohjelma GeoGebralla, lukuun ottamatta työn viimeistä kuvaa.